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Você sabia que os grupos de Lie surgiram de uma analogia com a teoria de Galois? Desde então, eles ganharam força para se manifestar nos mais diversos campos da matemática, desde equações diferenciais em variedades, passando por álgebra pura e matemática discreta. Nesta breve apresentação, apresentaremos generalidades sobre estas diversas manifestações, de maneira introdutória, para aqueles que desejam descobrir a verdade por trás deste ousado movimento que busca questionar e romper toda e qualquer hegemonia, e estabelecer uma nova ordem global.

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A proposta desta apresentação é pensar o teorema da incompletude de Chaitin. Para isto a apresentação acontecerá em 3 partes. 1) passarei pelos pré-requisitos de computabilidade; 2) discutirei alguns teoremas sobre complexidade de Kolmogorov; 3) apresentarei a prova de Chaitin do teorema da incompletude.

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Partindo das comparações históricas entre as diversas apresentações da teoria da homotopia, sobretudo topológica, simplicial e categorial, pretendo expor a inspiração toposófica de Grothendieck que originou uma teoria axiomática e elementar da teoria da homotopia, além da teoria das categorias teste (categorias pequenas cujo os prefeixes são modelos para os tipos de homotopia) e o formalismo dos derivadores, onde a teoria da homotopia é finalmente caracterizada por uma propriedade universal. Também tangenciaremos a teoria das categorias de modelos de Quillen e sua relação com os derivadores. Por fim, faremos uma breve exposição sobre a hipótese de homotopia: a conjectura de Grothendieck que inspirou a terapia das infinito-categorias.

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A proposta desta apresentação é pensar o teorema da incompletude de Chaitin. Para isto a apresentação acontecerá em 3 partes. 1) passarei pelos pré-requisitos de computabilidade; 2) discutirei alguns teoremas sobre complexidade de Kolmogorov; 3) apresentarei a prova de Chaitin do teorema da incompletude.

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Partindo das comparações históricas entre as diversas apresentações da teoria da homotopia, sobretudo topológica, simplicial e categorial, pretendo expor a inspiração toposófica de Grothendieck que originou uma teoria axiomática e elementar da teoria da homotopia, além da teoria das categorias teste (categorias pequenas cujo os prefeixes são modelos para os tipos de homotopia) e o formalismo dos derivadores, onde a teoria da homotopia é finalmente caracterizada por uma propriedade universal. Também tangenciaremos a teoria das categorias de modelos de Quillen e sua relação com os derivadores. Por fim, faremos uma breve exposição sobre a hipótese de homotopia: a conjectura de Grothendieck que inspirou a terapia das infinito-categorias.

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Partindo das comparações históricas entre as diversas apresentações da teoria da homotopia, sobretudo topológica, simplicial e categorial, pretendo expor a inspiração toposófica de Grothendieck que originou uma teoria axiomática e elementar da teoria da homotopia, além da teoria das categorias teste (categorias pequenas cujo os prefeixes são modelos para os tipos de homotopia) e o formalismo dos derivadores, onde a teoria da homotopia é finalmente caracterizada por uma propriedade universal. Também tangenciaremos a teoria das categorias de modelos de Quillen e sua relação com os derivadores. Por fim, faremos uma breve exposição sobre a hipótese de homotopia: a conjectura de Grothendieck que inspirou a terapia das infinito-categorias.

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A noção de tripos (Topos Representing Indexed Pre-Ordered Set) foi inspirada na observação de Lawvere de que quantificadores lógicos podem ser entendidos em termos de adjunções (via as chamadas hiperdoutrinas), e introduzida como uma forma de unificar duas construções com propriedades bem distintas: toposes de feixes sobre uma locale, quando caracterizados em termos de 'H-valued sets' (Higgs), e o 'topos efetivo' de Hyland. A intenção é introduzir o conceito de tripos, que pode ser visto como a contraparte lógica de um sítio de Grothendieck, e dois dos fatos mais chamativos da teoria associada: podemos interpretar uma linguagem relacional num tripos, com um teorema de correção para esta semântica, e podemos extrair um topos de um dado tripos.

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Partindo das comparações históricas entre as diversas apresentações da teoria da homotopia, sobretudo topológica, simplicial e categorial, pretendo expor a inspiração toposófica de Grothendieck que originou uma teoria axiomática e elementar da teoria da homotopia, além da teoria das categorias teste (categorias pequenas cujo os prefeixes são modelos para os tipos de homotopia) e o formalismo dos derivadores, onde a teoria da homotopia é finalmente caracterizada por uma propriedade universal. Também tangenciaremos a teoria das categorias de modelos de Quillen e sua relação com os derivadores. Por fim, faremos uma breve exposição sobre a hipótese de homotopia: a conjectura de Grothendieck que inspirou a terapia das infinito-categorias.

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The notes in <http://angg.twu.net/math-b.html#favorite-conventions> - I'll refer to them as "[FavC]" from here on - define an extensible diagrammatic language that lets us take complex definitions in Category Theory and then complement them with several kinds of diagrams to lower the level of complexity and abstraction of the original definition. What we usually get after adding these diagrams is the original definition (very abstract, "for adults") drawn side to side with diagrams for particular cases ("for children"), in two parallel diagrams with the same shape; see the introduction of [FavC] for several different overviews of the method, and for several different attempts to define "children" in a useful way.

The definition of a Grothendieck topology is quite hard to understand - I found it impossible for many years - and in this presentation I will show how the extend the diagrammatic language from [FavC] to handle that. Most of the material that I will present is in <http://angg.twu.net/LATEX/2021groth-tops-children.pdf>, but I need to confess that this is an early draft that I need to rewrite as soon as possible.

The presentation will be in Portuguese, with slides in English.

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The notes in <http://angg.twu.net/math-b.html#favorite-conventions> - I'll refer to them as "[FavC]" from here on - define an extensible diagrammatic language that lets us take complex definitions in Category Theory and then complement them with several kinds of diagrams to lower the level of complexity and abstraction of the original definition. What we usually get after adding these diagrams is the original definition (very abstract, "for adults") drawn side to side with diagrams for particular cases ("for children"), in two parallel diagrams with the same shape; see the introduction of [FavC] for several different overviews of the method, and for several different attempts to define "children" in a useful way.

The definition of a Grothendieck topology is quite hard to understand - I found it impossible for many years - and in this presentation I will show how the extend the diagrammatic language from [FavC] to handle that. Most of the material that I will present is in <http://angg.twu.net/LATEX/2021groth-tops-children.pdf>, but I need to confess that this is an early draft that I need to rewrite as soon as possible.

The presentation will be in Portuguese, with slides in English.

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Esta apresentação foi realizada no âmbito da disciplina "Introdução à Teoria das Categorias" (MAT0462/MAT6603) no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, ministrada pelo Prof. Hugo Luiz Mariano no 2º semestre de 2020.

Gravação disponível: https://youtu.be/OvnYD7gXvWw

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Em nosso seminário, apresentaremos a equivalência de Curry-Howard-Lambek. Ela é composta por uma correspondência entre lógica intuicionista e $\lambda$-calculus tipados e um isomorfismo entre a categoria formada por $\lambda$-calculus tipados e a formada por categorias cartesianamente fechadas. Vamos apresentar os pré-requisitos necessários junto à equivalência.

Esta apresentação foi realizada no âmbito da disciplina "Introdução à Teoria das Categorias" (MAT0462/MAT6603) no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, ministrada pelo Prof. Hugo Luiz Mariano no 2º semestre de 2020.

Gravação disponível: https://youtu.be/jYOXH8z1g1E

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Pretendemos introduzir o conceito de categorias trianguladas, discutindo a definição e vendo algumas propriedades. No final discutimos um exemplo de uma categoria triangulada na teoria de representações.

Esta apresentação foi realizada no âmbito da disciplina "Introdução à Teoria das Categorias" (MAT0462/MAT6603) no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, ministrada pelo Prof. Hugo Luiz Mariano no 2º semestre de 2020.

Gravação disponível: https://youtu.be/AoRiA9FCXe0.

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Neste trabalho eu apresento uma introdução do que seria uma interpretação da lógica intervalar no contexto de categorias quantale-enriquecidas.

Esta apresentação foi realizada no âmbito da disciplina "Introdução à Teoria das Categorias" (MAT0462/MAT6603) no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, ministrada pelo Prof. Hugo Luiz Mariano no 2º semestre de 2020.

Gravação disponível: https://youtu.be/K633fuHTPyg.

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Neste seminário, abordaremos a construção das categorias enriquecidas, englobando as noções de enriquecimento de funtores, transformações naturais, adjunção, entre outros. A ideia é motivar a construção estabelecendo um paralelo com as categorias usuais e as 2-categorias, além de apresentar uma série de exemplos importantes que elucidem um pouco a importância e o poder da generalidade deste tema.

Esta apresentação foi realizada no âmbito da disciplina "Tópicos de Lógica Categorial" (MAT6705) no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, ministrada pelo Prof. Hugo Luiz Mariano no 1º semestre de 2020.

Gravação disponível: https://youtu.be/U6BzPcPLx_8.

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A matemática é preenchida de folclores. Um habitat muito fértil para encontrá-los é a lógica categorial. Nesta apresentação, é nosso objetivo expor por que acreditamos nisso, e apresentar possíveis caminhos de esclarecimento.

Esta apresentação foi realizada no âmbito da disciplina "Tópicos de Lógica Categorial" (MAT6705) no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, ministrada pelo Prof. Hugo Luiz Mariano no 1º semestre de 2020.

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Instituições, propostas por Goguen-Burstall em meados dos anos 1980, são uma possível formulação para a noção de um sistema lógico formal abstrato munido de uma teoria de modelos. Ao longo das últimas décadas, uma extensa parcela da usual teoria de modelos da lógica de primeira ordem foi adaptada com sucesso para classes de instituições suficientemente estruturadas. Neste trabalho, buscamos identificar a origem de tal estrutura adicional e descrever a coerência interna que ela fornece à instituição. Finalmente, exibimos como isto pode ser naturalmente incorporado à própria noção de instituição através de um refinamento da usual "invariância da verdade por mudança de notação". Para isto, propomos a noção de um "escopo": um tipo de estrutura categorial, definido axiomaticamente, que se comporta como uma categoria sintática para instituições (isto é, cujos modelos são instituições estruturadas possuindo uma dada categoria de assinaturas), e que aproxima a teoria das instituições das outras formas de prática da lógica categorial (teorias de tipos dependentes, categorias com compreensão, hiperdoutrinas, etc.).

Esta apresentação foi realizada no âmbito da disciplina "Tópicos de Lógica Categorial" (MAT6705) no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, ministrada pelo Prof. Hugo Luiz Mariano no 1º semestre de 2020.

Gravação disponível: https://youtu.be/5bHNQSwa4KY

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Nosso objetivo é apresentar as teorias locais dos conjuntos, noção introduzida por John Bell, as quais são teorias de conjuntos escritas em linguagens locais. Vamos mostrar como a partir de um topos elementar podemos apresentar a linguagem de Mitchell-Bénabou o que nos serve como uma motivação inicial das linguagens locais, logo vamos expor propriamente as linguagens locais e as teorias locais de conjuntos, para a partir delas construir um topos elementar. Posteriormente, vamos mostrar como extrair a teoria local a partir de um topos, vamos falar sobre interpretação de uma linguagem local em um topos, e vamos exibir os teoremas de correção e completude neste contexto. Queremos mostrar um paralelo entre as propriedades sintáticas da teoria local e como estas se refletem em propriedades semânticas no topos classificante da teoria. Por fim, vamos apresentar uma caracterização sintática do topos Set.

Esta apresentação foi realizada no âmbito da disciplina "Tópicos de Lógica Categorial" (MAT6705) no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, ministrada pelo Prof. Hugo Luiz Mariano no 1º semestre de 2020.

Gravação disponível: https://youtu.be/uYn4psQ36DQ

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Os topos são uma área da teoria das categorias muito ricas em estruturas e que podem fornecer diferentes interpretações para construções de outras áreas da matemática. Nessa apresentação, vamos explorar as relações entre topos e os números naturais, bem como suas propriedades, estabelecendo um análogo à construção usual por meio do modelo de aritmética de Peano em topos utilizando o chamado objeto número natural, e definindo modelos Dedekind-finitos e Kuratowski-finitos além de provar resultados como a divisão euclidiana, números primos e as propriedades das operações básicas, estabelecendo uma interessantes conexão entre teoria dos números, combinatória e teoria das categorias.

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